阿基里斯悖论

公元前5世纪，芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/10，乌龟仍然前于他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/100，乌龟仍然前于他1米……芝诺认为，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但决不可能追上它。

悖论解释

关于阿基里斯悖论的一个解释是：阿基里斯的确永远也追不上乌龟。虽然现实中我们知道阿基里斯超越乌龟非常简单，但是它是如何超过乌龟的在过去却一直存在争论。

现代物理学已经证明了时间和空间不是可以无限分割的，所以总有最为微小的一个时间里，阿基里斯和乌龟共同前进了一个空间单位，从此阿基里斯顺利超过乌龟。

产生原因

芝诺悖论的产生原因，是在于“芝诺时”不可能度量阿基里斯追上乌龟后的现象。在芝诺时达到无限后，正常计时仍可以进行，只不过芝诺的“钟”已经无法度量它们了。这个悖论实际上是反映时空并不是无限可分的，运动也不是连续的。

通俗一点讲，我们都知道一条线是由无数个点组成的，但这个“无数个点”并不能说我们无法画出一条线。也就是说就是芝诺偷换了概念，（1 0.1 0.01 ……）t其实是一个有限的时间，但他认为这个时间是无限大的，只要时间超过（1 0.1 0.01 ……）t阿基里斯就追上了乌龟。

哲学辨析

阿基里斯悖论分离了运动与静止，夸大了相对静止，而否认了绝对运动，是形而上学说。

黑格尔在《小逻辑》中说：“辩证法切不可与单纯的诡辩相混淆。诡辩的本质在于孤立起来看事物，把本身片面的、抽象的规定，认为是可靠的。”辩证唯物主义认为，运动与静止是对立统一的辩证关系。

一方面，运动与静止的对立表现在：运动是绝对的，静止是相对的，二者相互区别，不可混淆。所谓运动是绝对的是说，运动是物质的根本属性，任何事物在任何条件下都是永恒运动的，是无条件的。所谓静止是相对的是说，静止是运动在特定条件下的特殊状态，是有条件的。

另一方面，运动与静止的统一表现在：运动和静止是相互依存、相互贯通的，即所谓动中有静、静中有动。在运动与静止关系上有两种形而上学的错误：一种是割裂运动与静止的关系，否认运动，只讲静止，将静止绝对化的形而上学不动论；一种是割裂运动与静止的关系，只讲运动，否认静止的形而上学相对主义和诡辩论。

简单证明

关于阿基里斯追龟的问题，我们可以很简单地证明阿基里斯追上了乌龟。

我们设乌龟先前所走过的所有的点属于集合B，乌龟现在所在的点标志为b，乌龟所走过的所有的点是集合A，A由集合B中所有的点加上b点构成。只要是乌龟先前所在的点，都是阿基里斯可以走到的，因而阿基里斯可以走到集合B中所有的点。那么，我们能不能在集合A中找到一个点，它既不属于B，也不是b，回答是不能的。因而如果阿基里斯走过了集合B中所有的点，阿基里斯与b点的距离就已经是0（如果不是0，则应该在阿基里斯与b点之间还会存在着一个点，但这个点并不存在），也就是说，阿基里斯已经追上了乌龟。

而按照我们悖论所设定的条件，阿基里斯是可以走到乌龟先前所走过的所有的点的。因而阿基里斯追到了乌龟。但在上面的分析中，我们发现了一个有趣的矛盾，这就是b既属于B又不属于B，也就是说，b既是现在又是先前。而且这是阿基里斯得以追上乌龟的前提和条件。这样的一个有趣的结论，是决不可能为具有形而上学头脑的那些数学家们所接受的。

此悖论假设阿基里斯永远只能到达龟前一个时间段到达的地方，即追上的前一个时间段，此时条件未发生变化，并先承认此时间段两者间仍有差异，然后用不同的时间段进行重复换算，假设条件仍未变化。而在此时间段的下一个口径相同的时间段里，阿基米斯就会追上。

相反观点：这证明是错误的。因为证明假设了阿基里斯可以走一个点，在事实上回避了悖论中无法找第1点问题实质。故此证明和悖论无关，只是把小学应用题用集合论复述了一遍。

推翻悖论

其实，我们根据中学所学过的无穷等比递缩数列求和的知识，只需列一个方程就可以轻而易举地推翻芝诺的悖论：阿基里斯在跑了

1000（1 0.1 0.01 …………）=1000(1 1/9)=10000/9米时便可赶上乌龟。

人们认为数列1 0.1 0.01 …………是永远也不能穷尽的。这只不过是一个错觉。

我们不妨来计算一下阿基里斯能够追上乌龟的时间为t（1 0.1 0.01 …………）=t (1 1/9)=10t/9

芝诺所说的阿基里斯不可能追上乌龟，就隐藏着时间必须小于10t/9这样一个条件。

由于阿基里斯和乌龟是在不断地运动的，对时间是没有限制的，时间很容易突破10t/9这样一个条件。一旦突破10t/9这样一个条件，阿基里斯就追上了或超过了乌龟。

人们被距离数列1 0.1 0.01 …………好像是永远也不能穷尽的假象迷惑了，没有考虑到时间数列1 0.1 0.01 …………是很容易达到和超过的了。

但是不是所有的数列都能达到，所以，我们看问题不能太极端。例如无论多少个点也不能组成直线，对于点的个数来说，我们就永远无法穷尽它。

其实，以上的证明是无法推翻这个悖论的。因为这个证明用到了极限这个概念。然而，极限这个概念，正是为了解决阿基里斯悖论而定义出来的一个概念。用这个概念再反证这个悖论很明显是不合理的。

无限的细分并不代表不会从时间1流入时间2，否则你的时钟将永远停留在59分59.9999............秒。

阿基里斯能够继续逼近乌龟，在某一时间点之前无法追上。但永远追不上这一结果并不成立，因为这一悖论只引导去考虑追上之前的距离，而不是追上的这一距离。

悖论正解

悖论隐含的假设就是阿基里斯没有追上龟，为什么呢？阿基里斯的每一段，都是乌龟跑完了，才让阿基里斯才跑的。只是想当然的用了一开始的距离差，而这个距离差为逐段变小。

而这个趋近过程又想用时间衡量，恰好时间和距离，都可以无限划分。静止也存在这样的接近过程，举个例子：假设乌龟是静止的，让阿基里斯以这样的方式跑。900米，90米，9米，0.9米……，这样他也追不上乌龟啊，也同样变不成零，因为你的假设就是距离的无限小，这只是在寻找最短的距离。这个就关系到极限了。就像在找最小的物质粒子一样。