分式

#公式# 0 0
分式定义是指如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子A/B叫做分式,其中A称为分子,B称为分母。分式是不同于整式的一类代数式,分式的值随分式中字母取值的变化而变化。分式有意义条件是分母不为0。数学中的分式运算法则包括五大类,分别是分式乘法法则、分式除法法则、分式乘方法则、分式的加减法则以及混合运算法则。
详细介绍 PROFILE +

一般地,如果A、B表示两个整式,且B中含有字母,那么式子A/B就叫做分式,其中A称为分子,B称为分母。分式是不同于整式的一类代数式,分式的值随分式中字母取值的变化而变化。分式有意义条件是分母不为0。

概念

定义

形如(A、B是整式,B中含有字母)的式子叫做分式。其中A叫做分式的分子(或者说被除数),B叫做分式的分母(或者说除数)。

当分式的分子的次数低于分母的次数时,这个分式叫做真分式;当分式的分子的次数等于或高于分母的次数时,这个分式叫做假分式。

注意:判断一个式子是否是分式,不要看式子是否是的形式,关键要满足:分式的分母(或者说除数)中必须含有字母,分子分母均为整式。无需考虑该分式是否有意义,即分母是否为零。

由于字母可以表示不同的数,所以分式比分数更具有一般性。

方法:数看结果,式看形。

分式条件

1.分式有意义条件:分母(或者说除数)不为0。

2.分式值为0条件:分子(或者说被除数)为0且分母不为0。

3.分式值为正(负)数条件:分子分母同号得正,异号得负。

4.分式值为1的条件:分子=分母≠0。

5.分式值为-1的条件:分子分母互为相反数,且都不为0。

代数式分类

整式和分式统称为有理式。

带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。

无理式和有理式统称代数式。

基本性质

分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式,分式的值不变。用式子表示为:A/B=(A*C)/(B*C), A/B=(A÷C)/(B÷C)(A,B,C为整式,且B、C不等于0)。

运算法则

约分

根据分式基本性质,可以把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分。约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。

步骤:

1.如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式,将它们的公因式约去。

2.分式的分子和分母都是多项式,将分子和分母分别分解因式,再将公因式约去。

公因式的提取方法

系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式。

最简分式

一个分式不能约分时,这个分式称为最简分式。约分时,一般将一个分式化为最简分式。

通分

把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式,叫做分式的通分。

通分步骤

先求出所有分式分母的最简公分母,再将所有分式的分母变为最简公分母。同时各分式按照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子。

注:最简公分母的确定方法:

系数取各因式系数的最小公倍数,相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积。

注:(1)约分和通分的依据都是分式的基本性质;(2)分式的约分和通分都是互逆运算过程。

四则运算

1.同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。用字母表示为:a/c±b/c=(a±b)/c。

2.异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。用字母表示为:a/b±c/d=(ad±cb)/bd。

3.分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母。用字母表示为:a/b *c/d=ac/bd。

4.分式的除法法则:

(1).两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。例如a/b÷c/d=ad/bc。

(2).除以一个分式,等于乘以这个分式的倒数:例如:a/b÷c/d=a/b*d/c。

分式方程

基本简介

分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

解法介绍

初二数学,分式方程(免费)科科通按课文顺序北师大版吕文华.flv初二数学,分式方程(免费)科科通按课文顺序北师大版吕文华.flv

①去分母{方程两边同时乘以最简公分母(最简公分母:①系数取最小公倍数;②出现的字母取最高次幂;③出现的因式取最高次幂),将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时。不要忘了改变符号};

分式

②按解整式方程的步骤(移项,若有括号应去括号,注意变号,合并同类项,系数化为1)求出未知数的值;

③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根)。

一般地验根,只需把整式方程的根代入最简公分母,如果最简公分母等于0,这个根就是增根,否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根,则原方程无解。

如果分式本身约分了,也要代进去检验。

基本步骤

(1)设未知数:若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来,则称为直接设未知数,否则称间接设未知数;

(2)列代数式:用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来,必要时作出示意图或列成表格,帮助理顺各个量之间的关系;

(3)列出方程:根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程;

(4)解方程并检验;

(5)写出答案。

在列分式方程解应用题时,不仅要检验所的解是否满足方程式,还要检验它是否符合题意。

一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零,因此要将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为零,则是方程的解。

分式方程及其应用举例

例1:解方程(1)x/(x 1)=2x/(3x 3) 1

两边乘3(x 1)去分母得

3x=2x (3x 3)

3x=5x 3

2x=-3

∴x=-3/2

经检验,x=-3/2是原方程的解

(2)2/(x-1)=4/(x^2-1)

两边乘(x 1)(x-1)去分母得

2(x 1)=4

2x 2=4

2x=2

∴x=1

检验:把x=1带入原方程,使分母为0,是增根。

故原方程2/(x-1)=4/(x^2-1)无解。

(3)2x-3 1/(x-5)=x 2 1/(x-5)

两边同时减1/(x-5),得x=5

代入原方程,使分母为0,所以x=5是增根

即方程无解!

检验:把x=a带入最简公分母,若x=a使最简公分母为0,则a是原方程的增根。若x=a使最简公分母不为零,则a是原方程的根。

归纳:解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程

两边同乘最简公分母,这也是解分式方程的一般思路和做法。检验格式:把x=a带入最简公分母,若x=a使最简公分母为0,则a是原方程的增根.若x=a使最简公分母不为零,则a是原方程的根。

当然我们可凭经验判断是否有解。若有解,代入所有分母计算:若无解,代入无解分母即可。

例2:(2010湖南邵阳)小明离家2.4千米的体育馆看球赛,进场时,发现门票还放在家中,此时离比赛还有45分钟,于是他立即步行(匀速)回家取票,在家取票用时2分钟,取到票后,他马上骑自行车(匀速)赶往体育馆。已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20分钟,骑自行车的速度是步行速度的3倍。

(1)小明步行的速度(单位:米/分钟)是多少?

(2)小明能否在球赛开始前赶到体育馆?

【解析】(1)设步行的速度为x米/分钟,则骑自行车的速度为3x米/分钟。

解得x=80,3x=240 依题意得(2400╱x)-(2400╱3x)=20

经检验,x=80是原方程的根。

答:小明步行的速度是80米/分钟。

(2)来回家取票总时间为:

(2400╱x) (2400╱3x) 2=42分钟<45分钟

所以他能在球赛开始前赶到体育馆。

答:小明能在球赛开始前赶到体育馆。

本百科词条由网站注册用户【 CN100274 】编辑上传提供,当前页面所展示的词条介绍涉及宣传内容属于注册用户个人编辑行为,网站不完全保证内容信息的准确性、真实性,也不代表本站立场。 版权声明 反馈 我要认领
词条所在榜单
相关知识文章
初中数学十大必背公式 初中数学公式大全 初一到初三数学公式归纳
初中数学是初中阶段一门很重要的学科,主要包括数与式、几何、函数与方程、概率统计等方面的内容,并要求学生熟练掌握一些重要的数学公式。那么你知道初中必背的数学公式有哪些吗?初中考试中常见的数学公式又有哪些呢?本文就为大家整理了一份初中数学十大必背公式,包括分式运算公式、勾股定理公式、方差和标准差公式、二次函数公式、一元二次方程公式、三角函数公式等,一起随MAIgoo小编来详细了解下吧。
高中数学十大必背公式 高中重点数学公式大全 高中数学公式汇总
高中数学是高中阶段一门很重要的学科,主要包括集合与函数、三角函数、不等式、数列等方面的内容,并要求学生熟练掌握一些重要的数学公式。那么你知道高中必背的数学公式有哪些吗?高中考试中常见的数学公式又有哪些呢?本文就为大家整理了一份高中数学十大必背公式,包括集合公式、初等函数公式、三角函数公式、三角恒等变换公式、数列公式、因式分解公式等,一起随MAIgoo小编来详细了解下吧。
影响世界的十大公式 最伟大的公式排名 世界著名公式大全
公式是一门学科智慧的结晶,也代表着这门学科的发展程度。有的公式影响了社会的发展,塑造了人类的思想。本文中maiGOO小编就带大家看一份影响世界的十大公式名单,其中有薛定谔方程、1+1=2、勾股定理、质能方程,以及傅立叶变换、欧拉公式、牛顿第二定律、麦克斯韦方程组等最著名的数学公式。一起来详细了解下。
高中物理十大必背公式 高考物理常用公式 高中物理公式大全
高中物理是高中阶段的一门重要学科,主要介绍了物理学的基础知识和一些基本概念,并要求学生熟练掌握一些重要的物理公式。那么你知道高中必背物理公式有哪些吗?高考物理常用公式又有哪些呢?本文就为大家整理了一份高中物理十大必背公式,包括:匀变速直线运动公式、加速度公式、动力学定理定律公式、常见的力公式、热学公式、电场公式等,一起随MAIgoo小编来详细了解下吧。
初中物理十大必背公式 中考物理常用公式 初中物理公式大全
初中物理是初中阶段的一门重要学科,主要介绍了物理学的基础知识,并要求学生熟练掌握一些重要的物理公式。那么你知道初中必背物理公式有哪些吗?中考物理常用公式又有哪些呢?本文就为大家整理了一份初中物理十大必背公式,包括:速度公式、欧姆定律公式、密度公式、压强公式、重力公式、浮力公式等,一起随MAIgoo小编来详细了解下吧。
鸡兔同笼应用题100道带答案 鸡兔同笼经典例题及简单解法
鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一,大约在1500年前,《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题,许多小学算术应用题都可以转化成这类问题,今天本文就为大家整理了鸡兔同笼应用题100道,一起来看看吧。
100道有趣又烧脑的数学题 经典烧脑的数学智力题带答案
在各种学科中,数学的位置无可替代,对于人的逻辑思维能力、想象能力、理解问题能力、细心程度等等是项全方位的考验,一些有趣的数学问题更是对智商高低的印证,本文就为大家带来了100道有趣又烧脑的数学题,看看你能答对几个吧。
五年级奥数思维训练题100道 五年级数学竞赛100题及答案
五年级对于小学来说是非常重要的时期,知识的难度提高了一个层次,许多内容甚至是初中知识的根基,而奥数的学习不仅能使学生的思维更加灵活,还能对巩固原本学识的知识,本文就为大家带来了五年级奥数思维训练题100道,希望对您有所帮助。
六年级奥数思维训练题100道 六年级数学竞赛100题及答案
六年级已经完成了小学的全部学习,而奥数的学习则可以让学生开拓思维,从而更容易接受初中知识,一些小学奥数题甚至可以难倒许多初中学生甚至家长,本文就为大家带来了六年级奥数思维训练题100道,你全都会做吗?
初中奥数题100道及答案 初中奥数训练题大全 初中数学竞赛100题
说到奥数题,大家一般想到的都是小学奥数,其实如果在小学阶段的学习成果足够优秀的话,初中的奥数学习更会使学生更加充满乐趣和收获,甚至走上更高的舞台,本文就为大家整理了初中奥数题100道及答案,希望对您有所帮助。
四年级奥数思维训练题100道 四年级数学竞赛100题及答案
四年级是小学学习的关键时期,对于很多学生来说甚至是一生的分水岭,而奥数的学习不仅能开拓学生的思维,还能使原本的学习内容得到巩固,本文就为大家整理了四年级奥数思维训练题100道,希望对您有所帮助。
三年级奥数思维训练题100道 三年级数学竞赛100题及答案
小学三年级是打基础的关键时期,而这一时期学习奥数无疑可以帮助孩子拓展思维,并且更好地消化原本的学习内容,本文就为大家整理了三年级奥数思维训练题100道,希望对您有所帮助。
100道简便计算题及答案 简便运算练习题大全 数学简便运算100题
在数的运算中,有加(+)、减(-)、乘(×)、除(÷)四种运算,我们在数学上又为了能更简便计算它们,简称称作简算,也是小学数学计算题中最常见的一种,本文就为大家整理了100道简便计算题及答案,希望对您有所帮助。
初二数学必练100题 初二数学题库大全 八年级计算题100道及答案
初二是初中学习的重要阶段,尤其是初二的数学是关键的承上启下时期,很多曾经成绩不错的同学都是在初二落下,所以大量的练习至关重要,本文就为大家整理了初二数学必练100题,希望对您有所帮助。
初一数学必练100题及答案 七年级计算题大全 初一数学几何题100道
初中的学习,尤其是初中数学,是数学学科一个新的开始,小学阶段的学习内容在这时才刚开始发挥用处,同样的,初一也是初中的打基础阶段,需要大量的练习加以巩固,本文就为大家整理了初一数学必练100题及答案,希望对您有所帮助。
奥数行程问题100道 行程问题经典题型 行程应用题100题及答案
行程问题是小学奥数中的一大基本问题。行程问题有相遇问题、追及问题等近十种,是问题类型较多的题型之一,包含多人行程、二次相遇、多次相遇、火车过桥、流水行船、环形跑道、钟面行程、走走停停、接送问题等。本文就为大家整理了奥数行程问题100道,希望对您有所帮助。
100道脱式计算题及答案 脱式计算练习题大全 数学脱式计算100题
脱式计算即递等式计算,把计算过程完整写出来的运算,也就是脱离竖式的计算。需要主要掌握的是记住要先算乘、除法,后算加、减法。在乘除法连继计算时中,要按从左往右的顺序依次计算,遇到括号,要首先计算括号内部。本文就为大家整理了100道脱式计算题及答案,希望对您有所帮助。
三年级数学应用题100道 数学三年级应用题及答案
三年级对于小学来说是非常重要的时期,在这个承上启下的关键阶段不仅需要吸收新的学习内容而且同时需要大量的练习来巩固所学的知识,今天本文就为大家整理了三年级数学应用题100道,希望对您有所帮助。
奥数思维训练100题及答案 奥数经典题型大全 小学经典奥数题100道
在小学学习阶段,奥数不仅可以开拓学生的思维还可以起到巩固课本知识的作用,并且使学生见到数学的魅力从而产生更浓厚的兴趣,本文就为大家整理了奥数思维训练100题及答案,希望对您有所帮助。
四年级数学必练100题 四年级应用题大全 四年级简便计算题100道
四年级是小学学习阶段非常重要的时期,这一年级所学的知识是接下来一切内容的基础,从计算题到应用题都开始增加了难度,是学生学习能力的重要打磨阶段,本文就为大家带来了四年级数学必练100题,希望对您有所帮助。