一元一次方程

一元一次方程指只含有一个未知数（元），这样的整式方程叫做一元一次方程。一元一次方程只有一个根。一元一次方程可以解决绝大多数的工程问题、行程问题、分配问题、盈亏问题、积分表问题、电话计费问题、数字问题。

一元一次方程最早见于约公元前1600年的古埃及时期。公元820年左右，数学家花拉子米在《对消与还原》一书中提出了“合并同类项”、“移项”的一元一次方程思想。16世纪，数学家韦达创立符号代数之后，提出了方程的移项与同除命题。1859年，数学家李善兰正式将这类等式译为一元一次方程。

基本概述

只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为1（即“次”）的整式方程（左右两边的式子要用“=”连接）叫做一元一次方程（英文名：linear equation with one unknown）。一元一次方程的标准形式（即所有一元一次方程经整理都能得到的形式）是ax b=0（a，b为常数，x为未知数，且a≠0）。求根公式：x=-b/a。

一元一次方程的特点：

（1）为一个等式

（2）该方程为整式方程。

（3）该方程有且只含有一个未知数。

（4）该方程中未知数的最高次数是1。（系数化为1）

（5）未知数系数不为0.

满足以上五点的方程，就是一元一次方程。

要判断一个方程是否为一元一次方程，先看它是否为整式方程。若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax b=0（a≠0，a是ax的系数，a与b均为常数）的形式，则这个方程就为一元一次方程。里面要有等号，且分母里不含未知数。

  变形公式

ax=b（a，b为常数，x为未知数，且a≠0）

表示方法

（1）一般形式：ax b=0（a，b为常数，a≠0）

（2）最简形式：ax=b（a，b为常数，a≠0）

补充

（1）等式的性质1：在等式左右两边同时加或减同一个数，等式成立

式子表示：a=b→a±c=b±c

（2）等式的性质2：等式两边同时乘或除不为0的数，等式成立

式子表示   a=b→ac=bc

a=b→a/c=b/c（c≠0）

方程定义

含有未知数的等式叫做方程，而且只含有一个未知数，未知数不为0;并且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程。

标准形式

一元一次方程的标准形式，即所有一元一次方程经整理都能得到

2a＋3＝17

2a＝17﹣3

2a＝14

a＝14÷2

a＝7

方程特点

（1）该方程为整式方程。

（2）该方程有且只含有一个未知数。

（3）该方程中未知数的最高次数是1。（系数化为1）

（4）未知数系数不能为0。

（5）该方程为等式。

判断方法

要判断一个方程是否为一元一次方程，①先看它是否为整式方程。若是，②。如果能整理为ax b=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元一次方程。里面要有等号，且分母里不含未知数。

变形公式

ax=b（a，b为常数，x为未知数，且a≠0）

求根公式通常解法

去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。

两种类型

（1）总量等于各分量之和。将未知数放在等号左边，常数放在右边。如：x 2x 3x=6。

（2）等式两边都含未知数。如：300x 400=400x，40x 20=60x。

方程举例

2a=8a-4

4b=-2

x=2

都是一元一次方程。

方程起源

“方程”一词来源于中国古算术书《九章算术》。在这本著作中，已经列出了一元一次方程。法国数学家笛卡尔把未知数和常数通过代数运算所组成的方程称为代数方程。在19世纪以前，方程一直是代数的核心内容。

主要用途

一元一次方程通常可用于做应用题，如工程问题、行程问题、分配问题、盈亏问题、球赛积分表问题、电话（水表、电表）计费问题、数字问题等。

解决步骤

一、去分母

在方程两边都乘以各分母的最小公倍数（不含分母的项也要乘）；

依据：等式的性质2

二、去括号

一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，可根据乘法分配律（记住如括号外有减号或除号的话一定要变号）

依据：乘法分配律（注意没有除法分配律）

三、移项

把方程中含有未知数的项都移到方程的一边（一般是含有未知数的项移到方程左边，而把常数项移到右边）

依据：等式的性质1

四、合并同类项

把方程化成ax=b（a≠0）的形式；

依据：乘法分配律（逆用乘法分配律）

五、系数化为1

在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a。

依据：等式的性质2

列方程解应用题的步骤

(1)审题，弄清题意．即全面分析已知数与已知数、已知数与未知数的关系．特别要把牵涉到的一些概念术语弄清，如同向，相向，增加到，增加了等.

(2)引进未知数．用x表示所求的数量或有关的未知量．在小学阶段所遇到的应用题并不十分复杂，一般只需要直接把要求的数量设为未知数．

(3)找出应用题中数量间的相等关系，列出方程．

(4)解方程，找出未知数的值．

(5)检验并写出答案．检验时，一是要将所求得的未知数的值代入原方程，检验方程的解是否正确；二是检查所求得的未知数的值是否符合题意，不符合题意的要舍去，保留符合题意的解．

解方程口诀

去分母，去括号，移项时，要变号，同类项，合并好，再把系数来除掉。

同解方程

如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。

同解原理

（1）方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。

（2）方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。

求根公式：

由于一元一次方程是基本方程，故教科书上的解法只有上述的方法。

但对于标准形式下的一元一次方程：ax b=0(a≠0)。

可得出求根公式。

函数解法

由于一元一次函数都可以转化为ax b=0（a，b为常量，a≠0）的形式，所以解一元一次方程就可以转化为：

当某一个函数值为0时，求相应的自变量的值。从图像上看，这就相当于求直线y=kx b（k，b为常量，k≠0）与x轴交点的横坐标的值。

本段解法举例

题目：已知ax=b是关于x的方程（a、b为常数），求x的值。

分析：要牢牢抓住一元一次方程的定义，进行分类讨论。

解：当a≠0时。

当a=0，b=0时，方程有无数个解（注意：这种情况不属于一元一次方程，而属于恒等方程）

当a=0，b≠0时，方程无解（注意：此种情况也不属于一元一次方程）

补充说明

（1）依据：等式的性质1

（2）把未知数相同且其次数也相同的项合并成一项；常数计算后合并成一项

（3）合并时次数不变，只是系数相加减。

移项

（1）依据：等式的性质2

（2）含有未知数的项变号后都移到方程左边，把不含未知数的项移到右边。

（3）把方程一边某项移到另一边时，一定要变号（如：移项时将 改为-，×改为÷）。

等式性质

等式的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式，等式仍然成立。

等式的性质二：等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立。

等式的性质三：等式两边同时乘方（或开方），等式仍然成立。

解方程都是依据等式的这三个性的。

解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。