胡克定律

胡克定律，曾译为虎克定律，是力学弹性理论中的一条基本定律，表述为：固体材料受力之后，材料中的应力与应变（单位变形量）之间成线性关系。满足胡克定律的材料称为线弹性或胡克型（英文Hookean）材料。

从物理的角度看，胡克定律源于多数固体（或孤立分子）内部的原子在无外载作用下处于稳定平衡的状态。

许多实际材料，如一根长度为L、横截面积A的棱柱形棒，在力学上都可以用胡克定律来模拟——其单位伸长（或缩减）量（应变）在常系数E（称为弹性模量）下，与拉（或压）应力σ成正比例，即：弹簧给予物体的力F与长度变化量x成线性关系(F=-kx或△F=-kΔx)

其中Δx为总伸长（或缩减）量。胡克定律用17世纪英国物理学家罗伯特·胡克的名字命名。胡克提出该定律的过程颇有趣味，他于1676年发表了一句拉丁语字谜，谜面是：ceiiinosssttuv。两年后他公布了谜底是：ut tensio sic vis，意思是“力如伸长（那样变化）”，这正是胡克定律的中心内容。

定律定义

胡克定律由R.胡克于1678年提出，表达式为或，其中是常数，是物体的劲度系数（倔强系数）（弹性系数）。在国际单位制中，的单位是牛顿，的单位是米，它是形变量（弹性形变），的单位是牛/米。劲度系数在数值上等于弹簧伸长（或缩短）单位长度时的弹力。

胡克的弹性定律指出：弹簧在发生弹性形变时，弹簧的弹力和弹簧的伸长量（或压缩量）成正比，即。是物质的弹性系数，它只由材料的性质所决定，与其他因素无关。负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长（或压缩）的方向相反。

满足胡克定律的弹性体是一个重要的物理理论模型，它是对现实世界中复杂的非线性本构关系的线性简化，而实践又证明了它在一定程度上是有效的。然而现实中也存在着大量不满足胡克定律的实例。胡克定律的重要意义不只在于它描述了弹性体形变与力的关系，更在于它开创了一种研究的重要方法：将现实世界中复杂的非线性现象作线性简化，这种方法的使用在理论物理学中是数见不鲜的。

式中表示内力，是作用的面积，是弹性体原长，是受力后的伸长量，比例系数称为弹性模量，也称为杨氏模量，由于应变为纯数，故弹性模量和应力具有相同的单位，弹性模量是描写材料本身的物理量，由上式可知，应力大而应变小，则弹性模量较大；反之，弹性模量较小。弹性模量反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力，对于一定的材料来说，拉伸和压缩量的弹性模量不同，但二者相差不多，这时可认为两者相同。

广义胡克定理

胡克定律的内容为：在材料的线弹性范围内（见上图的材料应力应变曲线的比例极限范围内），固体的单向拉伸变形与所受的外力成正比；也可表述为：在应力低于比例极限的情况下，固体中的应力与应变成正比，即，式中为常数，称为弹性模量或杨氏模量。把胡克定律推广应用于三向应力和应变状态，则可得到广义胡克定律。胡克定律为弹性力学的发展奠定了基础。各向同性材料的广义胡克定律有两种常用的数学形式：

式中为应力分量，为应变分量；和为拉梅常量，又称剪切模量。这些关系也可写为：

为弹性模量（或杨氏模量）；为泊松比。、、和之间存在下列联系：

式（1）适用于已知应变求应力的问题，式（2）适用于已知应力求应变的问题。

适用范围

在线弹性阶段，广义胡克定律成立，也就是应力（为比例极限）时成立。在弹性范围内不一定成立，（为弹性极限），虽然在弹性范围内，但广义胡克定律不成立。

发展简史

起初，胡克在做实验的过程中，发现“弹簧上所加重量的大小与弹簧的伸长量成正比”，他又通过多次实验验证自己的猜想。1678年，胡克写了一篇《弹簧》论文，向人们介绍了对弹性物体实验的结果，为材料力学和弹性力学的发展奠定了基础。

19世纪初，在前者做了不少实验工作的前提下，英国科学家托马斯·杨总结了胡克等人的研究成果，指出：如果弹性体的伸长量超过一定限度，材料就会断裂，弹性力定律就不再适用了，明确地指出弹性力定律的适用范围。（超出该适用范围的形变就叫做范性形变）

至此，经过许多科学家的辛勤劳动，终于准确地确立了物体的弹性力定律。后人为纪念胡克的开创性工作和取得的成果，便把这个定律叫做胡克定律。

胡克定律的另一称法——郑玄-胡克定律

胡克定律是由英国力学家R.胡克(Robert Hooke，1635-1703)于1678年发现的，胡克提出该定律的过程颇有趣味，他于1676年发表了一句拉丁语字谜，谜面是：ceiiinosssttuv。两年后他公布了谜底是：ut tensio sic vis，意思是“力如伸长（那样变化）”，这正是胡克定律的中心内容。实际上早于他1500年前，东汉的经学家和教育家郑玄（公元127-200）为《周礼·冬官考工记·弓人》一文中的“量其力，有三钧”一句作注解时，在《周礼注疏·卷四十二》中写到：“假令弓力胜三石，引之中三尺，驰其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。”正确地提示了力与形变成正比的关系，而郑玄的发现要比胡克要早一千五百年。因此有物理学家认为胡克定律应称之为“郑玄-胡克定律”。

定律影响

胡克的发现直接导致了弹簧测力计———测量力的基本工具的诞生，并且直到现代的物理实验室还在广泛使用。弹簧测力计的原理也即是“胡克定律”。

扩展阅读

几种常见材料的弹性模量

材料 铝 绿石英 混凝土 铜 玻璃 花岗石 铁 铅 松木（平行于纹理）

E∕10^10Pa 7 9.1 2 11 5.5 4.5 19 1.6 1

胡克定律的张量形式

若要对处于三维应力状态下的材料进行描述，需要定义一个包含81个弹性常数的四阶张量以联系二阶应力张量和应变张量(又称格林张量)。

由于应力张量、应变张量和弹性系数张量存在对称性(应力张量的对称性就是材料力学中的剪应力互等定理)。81个弹性常数中对于最一般的材料也只有21个是独立的。

由于应力的单位量纲(力/面积)与压强相同，而应变是无量纲的，所以弹性常数张量中每一个元素(分量)都具有压强的量纲。

对于固体材料大变形力学行为的描述需要用到新胡克型固体模型(neo-hookeansolids)和mooney-rivlin型固体模型。

弹簧方程

胡克定律能精确地描述普通弹簧在变形不太大时的力学行为。胡克定律应用的一个常见例子是弹簧。在弹性限度内，弹簧施加在物体上的弹力和弹簧的长度变化量成线性关系，即:

式中是弹簧的劲度系数(或称为倔强系数)，它由弹簧材料的性质和几何外形所决定。负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长(或压缩)的方向相反。这种弹力称为回复力，表示它有使系统回复平衡的趋势。满足上式的弹簧称为线性弹簧。